【转】你完全可以理解量子信息(之二)

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导读:在 |0> 和 |1> 的基组中测量 |+> = ( |0> + |1> ) / √2 ,如果你把这个实验重复很多次,那么可以预测你有接近一半的次数得到 |0> ,接近一半的次数得到 |1> 。但对于单独的一次实验,你没办法做出任何预测。同样的原因可以导致不同的结果!这种内在的随机性是量子力学的本质特征。

上一篇文章《你完全可以理解量子信息(之一)

六 、第二大奥义:测量

在经典力学中,测量固然是一种重要的操作,但我们不会认为测量过程跟其他过程服从不同的物理规律。无论你看或不看某个物体,你都相信它具有某些确定的性质,如位置、速度,而且你看了以后这些性质不会变化。总之,你可以随便看。

可是在量子力学中,测量跟其他过程有本质的区别,描述测量要用与众不同的物理规律!你不能随便看了,你看或不看某个体系,会造成很大的区别。

量子力学中的测量,特殊在哪里呢?

首先,在量子力学中,每一次测量都必须对应某个基组。两次测量可以用不同的基组,比如你可以这次用 |0> 和 |1> ,下次用 |+> 和 |-> ,这是允许的,但每次你都必须确定当前用的是哪个基组。

确定了基组,然后呢?这时有两种情况,取决于待测量的态是不是基组中的一个态。如果是,那么测量后这个态不变。比如说在 |0> 和 |1> 的基组中测量 |0> ,必然得到 |0> 。

然而,如果待测量的态不是基组中的一个态,比如说在 |0> 和 |1> 的基组中测量 a|0> + b|1> ,其中 a 和 b 都不等于 0 ,也就是说这个态既不是 |0> 也不是 |1> ,会怎么样?

答案是:这个态会发生突变!也常有人把这个突变称为 “ 塌缩 ” 、“ 坍缩 ” 或类似的词。这个突变是瞬间发生的,是一个真正意义上的突然变化。

变成什么?变成基组中的一个态,即 |0> 或 |1> 中的某一个。更具体地说,以 |a|² 的概率变成 |0> ,以 |b|² 的概率变成 |1> 。请注意,我们无法预测特定的某次测量变成 |0> 还是 |1> ,能预测的只是概率。由于只可能有这两种结果,所以这两个概率相加等于 1 ,这就是 |a|² + |b|² = 1 的原因。

上一节中说,一个电子可以 “ 同时位于两个地方 ” 。实际的意思就是,一个电子可以处于两个位置的叠加态,测量它的位置时,会以一定的概率发现它位于这里,以一定的概率发现它位于那里。

量子力学中的 “ 测量 ”
量子力学中的 “ 测量 ”

测量导致状态突变之后,再在同样的基组下测量,就回到了第一种情况(待测的态是基组中的一个态),所以就不会变了。也就是说,如果你第一次测得的是 |0> ,那么以后你再在 |0> 和 |1> 的基组中测量多少次,都仍然是 |0> ;如果你第一次测得的是 |1> ,那么以后你再在 |0> 和 |1> 的基组中测量多少次,都仍然是 |1> 。

我们可以把测量理解为强迫叠加态 “ 削足适履 ” :给你一组状态,跟你都不一样,而你必须在其中选择一个,就只好随机挑了。

八仙中铁拐李的故事,用在这里意外的合拍。铁拐李原本是一位翩翩公子,F4 级别的帅哥。由于修仙有成,应邀去参加太上老君的 “ 学术活动 ” 。临走时,他告诉学生自己要元神出窍七天,要学生照看好自己的身体。参加完学术活动回来,却发现学生已经把自己的身体火化了。(难道是因为考试没给他过?)这时鸡马上就要叫,如果他找不到可附体的对象就要魂飞魄散。这时他发现周围有几个可附的尸体,他只得在其中随便选择一个!(原来的故事是只有一个尸体,但一个基组至少要有两个态可供选择。)不料是个拐子,于是帅哥李就变成了铁拐李。结论是:学术活动害死人 ……(大误)

铁拐李
铁拐李

猪八戒:喂喂喂,你的运气已经不错啦,不要不知足!早跟你说了,投胎是个技术活儿!其实跟投胎相比,撞天婚是我更喜欢的 “ 测量 ” ,只可惜真真、爱爱、怜怜是个假的 “ 基组 ” ……

猪八戒撞天婚
猪八戒撞天婚

测量中的突变,意味着我们对因果律的理解需要改变。举个例子,在 |0> 和 |1> 的基组中测量 |+> = ( |0> + |1> ) / √2 ,会以一半的概率得到 |0> ,一半的概率得到 |1> 。概率的意思是,如果你制备很多个处于 |+> 的体系,把这个实验重复很多次,那么可以预测你有接近一半的次数得到 |0> ,接近一半的次数得到 |1> 。但对于单独的一次实验,你没办法做出任何预测。是的,同样的原因可以导致不同的结果!

这种内在的随机性是量子力学的一种本质特征。在经典力学中,一切演化都是决定性的,同样的原因必然导致相同的结果,量子力学却不是这样。

有人在这里可能要问:经典力学中也有随机性,掷硬币不就是一半概率朝上,一半概率朝下吗?回答是:同样叫做概率,背后的原因不一样,可改进的余地也不一样。

掷硬币的结果难以预测,是因为相关的外界因素太多:硬币出手时的方位、速度、空中的气流状况等等。也就是说,经典力学中的概率反映的是信息的缺乏。你可以通过减少这些因素的干扰来增强预测能力,例如在真空中掷、消灭气流、用机器掷、固定方向和力度。最终,你可以确定地掷出某一面,或者至少使掷出某一面的机会显著超过另一面。(赌神是怎样炼成的!)

赌神
赌神

但在量子力学中,测量结果的概率是由体系本身的状态决定的,不是由于外界的干扰,不是由于缺少任何信息,因此完全无法 “ 改进 ” 。给你一个处于 |+> 的粒子,问你有什么办法保证这次在 |0> 和 |1> 的基组中测量它时得到 |0> ,回答只能是:没有任何办法。(卡门:爱情是一只不羁的鸟儿,任谁都无法驯服 …… )所以再次强调,这种随机性是内在的,是量子力学的一种本质特征!

卡门:爱情像一只自由的小鸟
卡门:爱情像一只自由的小鸟
导读:没有人知道量子纠缠的机制?这是个常见的误解。其实量子纠缠是一个被理论预言然后确实观察到了的现象,而不是意外的实验发现,所以,科学家怎么可能不知道它的机制呢?量子纠缠的机制就是:叠加原理,测量时的突变,以及直积态和纠缠态的区别。

七 、第三大奥义:纠缠

前面说的都只是一个量子比特的体系,已经有这么多不可思议之处。多个量子比特的体系,可想而知会更加奇怪。这就引出了 “ 量子纠缠 ” 现象 —— 你听说过这个词,对不对?

量子纠缠在许多文章中被传得神乎其神,几乎成了心灵感应、神秘主义的代名词。但其实量子纠缠是一个有明确定义的概念,是一种被量子力学预言必然出现也早就观测到了的现象。它的物理原理很清楚,绝大部分神秘感都是被故弄玄虚的媒体强加上去的。看了下面的解释,你就明白它实际上是什么了。

我们先来看一个数学问题。拿出一个二元函数 F ( x , y ) ,你来试着把它写成一个关于 x 的函数 f ( x ) 与一个关于 y 的函数 g ( y ) 的乘积,也就是说,寻找 f ( x ) 和 g ( y ) ,使得 F ( x , y ) = f ( x ) g ( y ) 。如果可以,我们就说 F ( x , y ) 是可以 “ 分离变量 ” 的。如果不行,我们就说它不能分离变量。同样的定义可以推广到二元以上的函数,例如 F ( x , y , z ) 是否可以写成 f ( x ) g ( y ) u ( z ) ,就是这个三元函数能不能分离变量。

显然,有些二元函数是可以分离变量的。例如 F ( x , y ) = xy ,你取 f ( x ) = x 和 g ( y ) = y 就可以了。(这是道送分题!)又如 F ( x , y ) = xy + x + y + 1 ,仔细看看你就会发现它等于 ( x + 1 ) ( y + 1 ) ,所以取 f ( x ) = x + 1 和 g ( y ) = y + 1 即可。

然而,如果 F ( x , y ) = xy + 1 呢?这时你就会发现,无论如何也不能把它表示成 f ( x ) g ( y ) 。

对此可以用反证法证明如下:假设 F ( x , y ) = f ( x ) g ( y ) ,那么对 y 取两个值 y₁ 和 y₂ 时,F ( x , y₁ ) = f ( x ) g ( y₁ ) ,F ( x , y₂ ) = f ( x ) g ( y₂ ) 。这两个式子相除,就会把 f ( x ) 消掉,得到 F ( x , y₁ ) / F ( x , y₂ ) = g ( y₁ ) / g ( y₂ ) 。等式的右边 g ( y₁ ) / g ( y₂ ) 是一个与 x 无关的数,因此等式的左边 F ( x , y₁ ) / F ( x , y₂ ) 也必须是个与 x 无关的数。可是对于 F ( x , y ) = xy + 1 ,设 y₁ = 0 ,得到 F ( x , y₁ ) = 1 ,设 y₂ = 1 ,得到 F ( x , y₂ ) = x + 1 。两者相除得到 F ( x , y₁ ) / F ( x , y₂ ) = 1 / ( x + 1 ) ,跟 x 有关。因此初始的假设不对,F ( x , y ) = xy + 1 不能分离变量。

有了以上的数学准备,我们就可以解释量子纠缠是什么了。

在量子力学中,体系的状态(没错,就是前面说的态矢量)可以用一个函数来表示,称为 “ 态函数 ”(是的,你既可以把它理解为一个函数,也可以把它理解为一个矢量,两者不矛盾,怎么方便怎么来)。单粒子体系的态函数是一元函数,多粒子体系的态函数是多元函数。如果这个多元函数可以分离变量,也就是可以写成多个一元函数直接的乘积,我们就把它称为 “ 直积态 ” 。如果它不能分离变量,我们就把它称为 “ 纠缠态 ” 。

直积态和纠缠态的区分为什么重要?我们举些例子来说明。

在量子力学中,我们常常用类似 |00> 的狄拉克符号来表示两粒子体系的状态,其中第一个符号表示粒子 1 所处的状态,第二个符号表示粒子 2 所处的状态,|00> 就表示两个粒子都处于自己的 |0> 态。同理,|01> 表示粒子 1 处于自己的 |0> 态、粒子 2 处于自己的 |1> 态,|11> 表示两个粒子都处于自己的 |1> 态,如此等等。

这些状态都是直积态,体系整体的二元态函数就是两个粒子各自的一元态函数的乘积。对于直积态,你在测量粒子 1 的时候,不会影响粒子 2 的状态,所以你可以说 “ 粒子 1 处于某某状态,粒子 2 处于某某状态 ” 。这就是分离变量的结果。

下面我们来考虑这样一个状态:|β00> = ( |00> + |11> ) / √2 ,它是 |00> 和 |11> 的一个叠加态(是的,叠加原理对多粒子体系也成立)。这个态是不是直积态呢?也就是说,( |00> + |11> ) / √2 能不能写成 ( a|0> + b|1> ) ( c|0> + d|1> )(前一个括号中是粒子 1 的状态,后一个括号中是粒子 2 的状态)?

你立刻就会发现,不能。假如可以的话,因为这个状态中不包含 |01> ,所以 ad = 0 ,于是 a 和 d 中至少有一个等于 0 。但是如果 a = 0 ,|00> 就不会出现;而如果 d = 0 ,|11> 又不会出现。无论如何都自相矛盾,所以假设错误,|β00> 不是直积态,而是纠缠态,不能分离变量。这就意味着,不能用 “ 粒子 1 处于某某状态,粒子 2 处于某某状态 ” 这样的语言来描述 |β00> ,你只能说这个体系整体处于 |β00> 状态。

真正惊人的事情,发生在对 |β00> 做测量的时候。你对它测量粒子 1 的状态,会以一半的概率使整个体系变成 |00> ,此时两个粒子都处于自己的 |0> ;以一半的概率使整个体系变成 |11> ,此时两个粒子都处于自己的 |1> 。你无法预测单次测量的结果,但你可以确定,粒子 1 变成什么,粒子 2 也就同时变成了什么。两者总是同步变化的。好比成龙的电影《双龙会》中有心灵感应的双胞胎,一个做了某个动作,另一个无论相距多远都会做同样的动作。

成龙《双龙会》
成龙《双龙会》

在许多科普文章中,也经常用另一个态 ( |01> + |10> ) / √2 作例子,我们可以把它记为 |β01> 。这个态的特点是,你对它测量粒子 1 的状态,会以一半的概率发现粒子 1 处于 |0> ,粒子 2 处于 |1> ,另一半概率发现粒子 1 处于 |1> ,粒子 2 处于 |0> 。你无法预测单次测量的结果,但你可以确定,粒子 1 变成什么,粒子 2 就同时变成了相反的状态。下面的漫画表现的就是这个态。

量子力学中的 “ 纠缠 ”
量子力学中的 “ 纠缠 ”

有趣的是,纠缠这个重要的量子力学现象,是由几位反对量子力学的科学家提出的,而且其中的 “ 带头大哥 ” 就是爱因斯坦!

《天龙八部》带头大哥
《天龙八部》带头大哥

如前所述,爱因斯坦是量子力学早期的奠基人之一。实际上,他得诺贝尔奖不是因为提出相对论,而是因为提出光量子(即光子)理论(这是诺贝尔奖委员会做过的最搞笑的事情之一)。但随着量子力学的发展,爱因斯坦对量子力学的许多特性产生了深深的怀疑。

他认为每个粒子在测量之前都应该处于某个确定的状态,而不是等到测量之后,否则就不能叫做 “ 物理实在 ” 。爱因斯坦的一个经典问题是:“ 你是否相信,月亮只有在我们看它的时候才存在?”

1935 年,爱因斯坦( Albert Einstein )、波多尔斯基( Boris Podolsky )和罗森( Nathan Rosen )提出了一个思想实验,后人用他们姓的首字母把他们三人合称为 EPR 。先让两个粒子处于 |β00> 态,这样一对粒子称为 “ EPR 对 ” 。把这两个粒子在空间上分开很远,可以任意的远。然后测量粒子 1 。如果你测得粒子 1 在 |0> ,那么你立刻就知道了粒子 2 现在也在 |0> 。

EPR 问:既然两个粒子已经离得非常远了,粒子 2 是怎么知道粒子 1 发生了变化,然后发生相应的变化的?EPR 认为两个粒子之间出现了 “ 鬼魅般的超距作用 ” ,信息传递的速度超过光速,违反了狭义相对论。所以,量子力学肯定有毛病。

这是个深邃的问题,量子力学的另一位奠基人玻尔为此跟爱因斯坦进行过激烈的辩论。玻尔的回答是:处于纠缠态的两个粒子是一个整体,绝不能把它们看作彼此独立无关的,无论它们相距有多远。当你对粒子 1 进行测量的时候,两者是同时发生变化的,并不是粒子 1 变了之后传一个信息给粒子 2 ,粒子 2 再变化。所以这里没有发生信息的传递,并不违反相对论。

玻尔与爱因斯坦
玻尔与爱因斯坦

仔细想一想,你就会明白 EPR 实验没有传输信息。如果 A 希望把一比特的信息 “ 0 ” 或 “ 1 ” 传给远处的 B ,那么双方需要事先约定好如何表示这个信息,比如说 A 想传 “ 0 ” 时就让 B 测得粒子 2 处于 |0> ,A 想传 “ 1 ” 时就让 B 测得粒子 2 处于 |1> 。假如 A 能控制测量的结果,比如说这次 A 一定会让粒子 1 处于 |0> ,那么 A 同时就让粒子 2 处于了 |0> ,A 确实就给 B 传了一个 “ 0 ” 。

但是,量子力学的精髓恰恰在于测量的结果是随机的,你不能控制,所以 EPR 实验不能这么用。A 测量粒子 1 得到的是一个随机数,B 测量粒子 2 得到的也是一个随机数,只不过这两个随机数必然相等而已。你想传一个比特,可是 EPR 对完全不听你指挥,所以你传不了任何信息。既然没传输信息,当然就不违反狭义相对论了。

在爱因斯坦和玻尔的时代,人们只能对 EPR 问题进行哲学辩论(这是好听的说法,说得通俗一点就是 “ 打口水仗 ”),无法通过实验做出判断。1964 年,贝尔( John S. Bell )指出,可以设计一种现实可行的实验,把双方的矛盾明确表现出来。对两粒子体系测量某些物理量之间的关联程度,如果按照 EPR 的观点,这些物理量在测量之前就有确定的值,那么这个关联必然小于等于 2 ;而按照量子力学,这个关联等于 2√2 ,大于 2 。这个 “ 关联小于等于 2 ” 的不等式叫做贝尔不等式,而量子力学不满足贝尔不等式。

漫画:贝尔不等式
漫画:贝尔不等式

从 1980 年代开始,阿斯佩克特( Alain Aspect )等一系列的研究组在越来越高的精度下做了实验,结果都是在很高的置信度下违反贝尔不等式,量子力学赢了。EPR 的思想实验最初是用来批驳量子力学的,结果却证实了量子力学的正确!

类似的故事在科学史上也常有。十九世纪的时候,泊松( Simeon-Denis Poisson )主张光是粒子,菲涅耳( Augustin-JeanFresnel )主张光是波动,两个阵营打得不可开交。1818 年,菲涅耳计算了圆孔、圆板等形状的障碍物产生的衍射花纹。泊松指出,按照菲涅耳的理论,在不透明圆板的正后方中央会出现一个亮点。从常识来看,不应该是暗的吗?于是泊松宣称波动说推出了荒谬的结果,已经被驳倒了。

但是菲涅耳和阿拉果( Dominique F. J. Arago )立即做实验,结果显示那里真的有一个亮斑(学过光学的同学能够理解,这是因为所有到达那里的衍射光都经过同样的路程,发生同相的叠加,互相加强)。于是波动说大获全胜,粒子说被打入冷宫(1905 年被爱因斯坦复活了,这就是他得诺贝尔奖的原因)。后人很有幽默意味地把这个亮点称为泊松亮斑。这正应了尼采的话:“杀不死我的,使我更强大!”

泊松亮斑
泊松亮斑

EPR 现象既然是一个真实的效应,而不是爱因斯坦等人以为的悖论,人们就想到利用它。现在,EPR 对是量子信息中一个非常有力的工具。对此我们只能说,伟人连错误都是很有启发性的!就像《大话西游》中的名言:跑都跑得那么帅~

《大话西游》紫霞仙子:跑都跑得那么帅,我真幸福
《大话西游》紫霞仙子:跑都跑得那么帅,我真幸福

现在科学家们认为,纠缠是一种新的基本资源,其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的资源相比。不过目前还没有描述纠缠现象的完整的理论,人们对这种资源的理解还远不够深入。有人把纠缠比喻为 “ 青铜时代的铁 ” ,它可能会在下一个历史时代大放异彩。

对量子纠缠的种种误解,经常出现在各种半吊子 “ 科普 ” 文章或者装神弄鬼的文章中。这里来稍稍解释一下。

最经常见到的误解是:量子纠缠是个非常神奇的现象,没有人知道它的机制是什么。

实际情况是:量子纠缠的机制就是上面说的这些,叠加原理,测量时的突变,直积态和纠缠态的区别。其实量子纠缠是一个被理论预言然后确实观察到了的现象,而不是意外的实验发现,所以,科学家怎么可能不知道它的机制呢?

如果你觉得这些不像个 “ 机制 ” ,那么请你想想,2 + 3 = 5 的机制又是什么?我们只能说,2 + 3 = 5 是自然数理论的必然推论,自然数理论就是它的机制。量子纠缠现象就是量子力学原理的必然推论,你不可能把量子力学之外的东西搞成它的机制。

经常有人脑洞大开地提议,量子纠缠的机制是,两个相距遥远的粒子在高维空间里连在一起,或者说它们的 “ 内部距离 ” 为零,我们平时看到的三维空间是高维空间的投影。这种说法看起来很机智,实际上没有什么用处。因为它完全是为了解释量子纠缠这一个现象而提出来的,而且只是定性解释,不能给出任何定量预测,也不能用到任何别的现象上。这只是一种语言游戏而已。

就像有的原始人看到飞机飞行觉得很神奇,造个理论说有一只大鸟的魂灵在这铁鸟里面托着它飞,在其他原始人看来好像很有道理,在内行看来却是多此一举。真要想理解飞机的原理,你就必须学空气动力学。同样,真要想理解量子纠缠的原理,你就必须学量子力学,舍此别无他途。

还有一种常见的误解,是以为任何两个粒子都会横跨整个宇宙同步变化。实际情况是,只有处于纠缠态的两个粒子才会这样。这是一个需要条件的现象,不是无条件的,而且在实验上精确制备这种条件还很不容易。

量子纠缠是一种多粒子体系的现象,而粒子越多,操纵起来当然就越困难。所以你会不时地看到这样的新闻:中国科学技术大学潘建伟团队实现了 x 个光子的纠缠态,刷新了以前同一研究组创造的 y 个光子纠缠的世界纪录。最新的 x = 10 ,y = 8 ,这是 2016 年 12 月的消息。多次打破世界纪录的撑杆跳高名将布勃卡和牙买加飞人博尔特,就是这个 feel!

十光子纠缠
十光子纠缠
十光子纠缠
十光子纠缠

最大而无当的误解,是以为量子纠缠证明了某种神秘主义的哲学或宗教,大发一通包罗万象、鬼话连篇的议论。实际情况是,量子纠缠是个原理很清楚的物理现象。你要拿它来讨论哲学或宗教,至少也该先搞清楚它是什么!

(坐等原博继续更新)

 

转自:

  • http://blog.sciencenet.cn/blog-3277323-1101621.html
  • http://blog.sciencenet.cn/blog-3277323-1116500.html
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