通过泊松分布解决馒头店老板的烦恼

甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：

每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

均值为：

按道理讲均值是不错的选择，但是如果每天准备 5 个馒头的话，从统计表来看，至少有 40 % 的时间（也就是两天）不够卖：

你 “ 甜在心馒头店 ” 又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用 来表示：

然后把周一卖出去的三个馒头（甜在心馒头是有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：

把 均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不就是正面（卖出），要不就是反面（没有卖出）：

内卖出 3 个馒头的概率，就和抛了 4 次硬币（ 4 个时间段），其中 3 次正面（卖出 3 个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是：

但是，如果把周二的 7 个馒头放在线段上，分成四段就不够了：

如上图所示，每个时间段有卖出 3 个的、有卖出 2 个的、有卖出 1 个的，就不再是单纯的 “ 卖出、没卖出 ” 了，不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把 分为 20 个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

这样， 内卖出 7 个馒头的概率就是（相当于抛了 20 次硬币，出现 7 次正面）：

为了保证在一个时间段内只会发生 “ 卖出、没卖出 ” ，干脆把时间切成 份：

越细越好，用极限来表示：

更抽象一点， 时刻内卖出 个馒头的概率为：

p 的计算

“ 那么 ” ，老板用笔敲了敲桌子，“ 只剩下一个问题，概率 怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布，二项分布的期望为：

那么：

泊松分布

有了 之后，就有：

我们来算一下这个极限：

其中：

所以：

上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 时间内卖出 个馒头的概率为：

一般来说，我们会换一个符号，让 ，所以：

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道 啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：

可以用它来近似：

于是：

画出概率密度函数的曲线就是：

可以看到，如果每天准备 8 个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前 8 个的概率加起来：

这样 93 % 的情况下够卖，偶尔卖缺货也有助于提升品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“ 那就这么定了！”

总结

这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布，比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变，所以可以用泊松分布来计算。

还有比如交通规划等等问题。

 

转自：

• https://www.matongxue.com/madocs/858.html